极限
极限ψ(｀∇´)ψ
逼近ψ(｀∇´)ψ
有的时候我们没有办法去计算一个函数在某点的值。
一种可能的情况就是，在这个点处没有定义：比如函数 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\)。
当我们在 \(x = 1\) 处尝试求值的时候，我们会得到 \(\dfrac{0}{0}\) 的结果，这是非常坏的！
但或许我们可以知道，当我们越来越逼近 \(x = 1\) 的时候会发生什么。
这里有一个表格：
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0.5 | 1.5 |
| 0.9 | 1.9 |
| 0.99 | 1.99 |
| 0.9999 | 1.9999 |
| 0.999999 | 1.999999 |
| \(\dots\) | \(\dots\) |
这似乎是在告诉我们，\(f(x)\) 的值越来越逼近于 \(2\)。
那么就是说 \(f(1) = 2\)？
不，这样不太对，函数 \(f\) 在 \(x = 1\) 处是没有定义的。
我们只能说，\(f(1)\) 似乎 越来越趋近于 \(2\)。
如果用稍微严谨一点的说法就是，当 \(x\) 趋近于 \(1\) 的时候，\(f(x)\) 的极限是 \(2\)。
再严谨一点就是，\(f(x)\) 定义在 \(1\) 的一个去心邻域上。
但是极限又是个什么东西？
像刚才这样，我们不知道这个函数在 \(x = 1\) 时等于多少，因为这是 undefined 的。
可我们又很确定它会越来越接近于 \(2\)。
这种时候我们就可以说 \(f(x)\) 在 \(x\) 趋近于 \(1\) 时，有极限 \(2\)。
思考一下，这真的严谨吗？我们似乎应该尝试从另外一边再逼近一次。
有可能有的函数长成 \(\dfrac{1}{x}\) 那样，在 \(x = 0\) 的两边是往不同方向走的啊！
当然对于我们研究的这个函数，是不存在这样的问题的。
我们从另外一遍逼近，也能发现结果越来越趋近于 \(2\)。
极限不存在ψ(｀∇´)ψ
对于任意函数，\(x\) 趋近于任意位置，极限一定存在吗？
显然是不一定的，想起刚才我们说的 \(\dfrac{1}{x}\)，它在 \(x = 0\) 这个地方就没有极限！
我们从左边逼近：\(\lim\limits_{x \to 0^-} = -\infty\)。
从右边逼近: \(\lim\limits_{x \to 0^+} = +\infty\)（这里的 \(+/-\) 代表逼近的方向）。
此时我们可以说左边的极限（左极限）是 \(-\infty\)。
但是一般的极限是不存在的。
由此我们也可以得到极限存在的充要条件：
如果 \(f(x)\) 在 \(c\) 的去心邻域有定义，\(\lim\limits_{x \to c} f(x)\) 存在 \(\iff\) \(f(x)\) 在 \(c\) 两侧的左右极限都存在且相等。
从这里推广，我们也可以得到一个判断极限是否存在的定理：
当 \(x \to c\) 时，有 \(g(x) \to l, h(x) \to l\)，且在 \(c\) 附近有 \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)。
那么 \(\lim\limits_{x \to c}f(x) = l\)，这被称作夹逼原理。
还有一个很重要的点：函数在点 \(c\) 处的极限(左极限、右极限)与函数在 \(c\) 处的函数值没有关系。
一个例子就是 \(f(x) = |sgn(x)|\)。
它在 \(c = 0\) 处的左极限和右极限都是 \(1\)，但是 \(f(0) = 0\)。
求极限的值ψ(｀∇´)ψ
对于每个函数都直接逼近会很麻烦。
而且我们不一定能直接看出来极限是多少，所以我们需要稍微严谨一点的方法计算。
假定我们要求 \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\)。
-
第一种简单的方法是考虑直接带入 \(x = c\) 的值，前提是这个位置有定义。
比如 \(f(x) = x^2, c = 2\)，那 \(\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4\)，虽然说这里直接就能求值，但是如果你硬要说极限的话，也是没有问题的。 + 对于分式，很多时候促使我们要去求极限的就是分母的多项式 = 0 的情况，所以我们不妨考虑因式分解消去一些式子，使得在这个地方有定义可以直接计算！
比如上方的例子，我们可以写出 \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1\)，于是我们要求的就是 \(\lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\)。这看起来比直接算好多了。
-
我们注意到 \(\ln x, \sqrt x\) 也会带来诸如此类的麻烦，所以有的时候不妨考虑分母有理化？更广泛一点说是尝试上下乘某个因式的共轭，使得这个位置有定义。
以上讨论的情形都是 \(x \to c\)，如果 \(x \to +\infty\)，我们应该怎么办呢？
随便拿一个例子：\(f(x) = x\)，当 \(x\to +\infty\) 的时候，它会越来越大。
我们好像不能知道这个值具体是多少，但不妨就记作是 \(+\infty\)（我们还没有对 \(\infty\) 做出定义，但是先以字面意思理解它）。
所以 \(\lim\limits_{x \to +\infty} x= +\infty\)。
而对于 \(\dfrac{1}{x}\)（此时我们只考虑 \(x \in (0, +\infty)\)）直接带入会得到 \(\dfrac{1}{+\infty}\)。
这也是 undefined 的。
但从图像和取值上来看，它似乎是越来越接近 \(0\) 的，事实也的确如此。
这似乎说明 \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = \infty \Rightarrow \lim\limits_{x \to c} \dfrac{1}{f(x)} = 0\)。
更进一步的，我们似乎也可以得到 \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x \to c} \dfrac{1}{f(x)} = \infty\)
这两个还比较特殊，如果遇到一般的有理函数（形如 \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\)，\(P,Q\) 是两个关于 \(x\) 的多项式），我们应该怎么办呢。
从多项式的次数出发似乎是个不错的考量。
学时间复杂度的时候我们知道 \(x^2\) 的增长趋势是远远大于 \(x\) 的。
在 \(x\) 很大的时候，\(x\) 的影响可以忽略不计。
那么我们是不是可以考虑，比较一下 \(P,Q\) 的次数呢？
（此时我们不考虑正负号）
- 如果 \(\deg(P) < \deg(Q)\)，这似乎说明在 \(x \to +\infty\) 的时候，分子对分母的影响是微乎其微的，就像 \(\dfrac{1}{x}\) 一样，那么说明极限是 \(0\)。
- 如果 \(\deg(P) > \deg(Q)\)，这就好像是 \(x\) 一样，极限是 \(+\infty\)。
- 如果 \(\deg(P) = \deg(Q)\)，我们似乎只需要考虑最高次项（理由仍旧是“微乎其微”），那么因为最高此项相同，所以我们只需要看 \(P, Q\) 最高次项的系数就可以了！比如 \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x^3 + 3x^2 + 2}{7x^3 + x - 1} = \dfrac{2}{7}\)。
于是我们解决了有理函数的情形。
\(\epsilon-\delta\) 定义ψ(｀∇´)ψ
如果就按照我们刚才说的方式去定义极限，似乎是不太优美的。
因为我们是在用自然语言中的“趋近”去表达极限，这不好，我们希望能用“数学语言”表达极限。
那么应该怎么办呢。
于是我们就应该想个办法表示“近”，那么就用值来衡量吧！
但是在趋近的时候，这个距离似乎又不好用一个值来衡量啊……
不妨先写出来。
对于极限 \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\)。
我们用 \(|x - c|\) 描述 \(x\) 到 \(c\) 的距离，\(|f(x) - L|\) 表示 \(f(x)\) 到极限的距离。
我们似乎只需要说明 \(|x - c|\) 非常小的时候, \(|f(x) - L|\) 也非常小就行了 。
但是“非常小”仍旧是一个笼统的自然语言的概念，我们不妨用两个值来作比较，这样就能用数学的语言描述这个自然语言概念了。
假定 \(|x - c| <\) 一个值 \(\delta\)，\(|f(x) - L| <\) 一个值 \(\epsilon\)。
换句话说，当 \(|x - c| < \delta\)，那么 \(|f(x) - L| < \epsilon\)。
但是 \(\delta, \epsilon\) 没有一个确切的定义啊？它们到底应该多小？
首先它们大于 \(0\) 是一个必然的事实，因为趋近的意思就是接近但不等于，换句话说距离大于零。
事实上，我们不用管它们到底有多小，上界有多大！我们只需要：
对于任何 \(\epsilon > 0\)，有 \(\delta > 0\)，从而使得当 \(0 < |x - c| < \delta\) 的时候 \(|f(x) - L| < \epsilon\)，那么称 \(L\) 为 \(x\) 趋近于 \(c\) 时 \(f(x)\) 的极限（\(f(x)\) 定义在 \(c\) 的一个去心邻域上）。
真是天才的想法！
这就是极限的定义。
看起来有点蠢和没必要，实际上它干了一件非常伟大的事情。
就是把极限的定义公理化，从自然语言转变到公理层面上，使得这个概念不再是笼统的抽象的，而有了一个具体的定义。
这使得极限的定义严密化，对于微积分这门学科来说有着极其重要的意义。
我们现在来看看怎么用它。
一个事实是，我们只需要说明对于 \(c, L\) 和任意的 \(\epsilon\) 存在一个 \(\delta\) 就可以了。
比如证明 \(\lim\limits_{x \to 3}(2x + 4) = 10\)。
尝试找到 \(\delta\) 关于 \(\epsilon\) 的式子：
或许，只要 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{2}\) 就可以了？
我们要做的是从 \(0 < |x - c| < \delta\) 推出 \(|f(x) - L| < \epsilon\)
于是带回去，发现可以，这就证明了 \(2x + 4\) 在 \(x \to 3\) 时的极限是 \(10\)。
无穷大量ψ(｀∇´)ψ
我们现在可以利用 epsilon delta 定义给出无穷大量的定义了。
似乎只需要更改一下 \(\epsilon\) 的描述：
对于在 \(c\) 附近有定义的 \(f(x)\)，若对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\) 满足：
\(|f(x)| > \epsilon, \forall 0 < |x - c| < \delta\)。
于是称 \(x \to c\) 时，\(f(x)\) 为无穷大量，记为 \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = \infty\)
去掉绝对值就可以定义 \(+\infty\)。
很有意思！
极限的运算法则ψ(｀∇´)ψ
- 加法法则：\(\lim\limits_{x \to c}f(x) + \lim\limits_{x \to c}g(x) = \lim\limits_{x \to c}(f(x) + g(x))\)。
- 乘法法则: \(\lim\limits_{x \to c}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c}g(x) = \lim\limits_{x \to c}(f(x)g(x))\)
- 推论：\(\lim\limits_{x \to c}(t\cdot f(x)) = t\lim\limits_{x \to c}f(x)\)
- 除法法则：\(\lim\limits_{x \to c}g(x) \neq 0, \dfrac{\lim\limits_{x \to c}f(x)}{\lim\limits_{x \to c}g(x)} = \lim\limits_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
这些似乎都可以从定义导出，是比较简单的
那，复合函数的极限呢？
似乎我们只需要把内层当作自变量就可以了。
\(\lim\limits_{t \to t_{0}} g(t) = x_{0} \Rightarrow \lim\limits_{t \to t_{0}} f(g(t)) = \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)\)。
但这其实是不完备的，应当加上 \(g(t) \neq x_{0}\)，\(t\) 属于 \(x_{0}\) 的某个去心邻域。
还记得我们之前说的，函数在某点的极限和函数值并没有关系吗？
记 \(f(x) = \begin{cases}2, &x = 2 \\ 1, &x \neq 2\end{cases}, g(x) = 2\)。
你会发现 \(\lim\limits_{x \to 2}f(g(x)) = 1\)，但算出来却是 \(2\)，这就是一个反例。