关于圆锥曲线切线方程的一个想法
最近在做圆锥曲线练习。
觉得直接联立然后用 \(\Delta\) 反推切线方程有点太麻烦了。
注意到这些切线方程都可以以一种统一的方式从原方程变过来，我觉得这应该不是偶然。
举例：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，其在 \((x_0, y_0)\) 处的切线方程可以写成 \(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)。
常规推导方式是考虑联立两个的方程，比如让切线方程为 \(Ax+By=1\)（右边等于 \(0\) 显然不是切线），然后联立得到 \(\Delta = 4a^2b^2B(A^2a^2 + B^2b^2 - C^2)\)，令 \(\Delta = 0\) 反推出 \(A,B\)，这很麻烦，我不喜欢。
考虑求切线是在干什么，就是给出一个二元一次式，使得对于这个二元一次式成立的二元组 \((x, y)\) 中只有 \((x_0, y_0)\) 满足 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
不妨我们就直接在圆锥曲线方程的基础上去给出这个二元一次式 \(Ax + By = 1\)，现在就是形如 \((\dfrac{x}{a^2})x+(\dfrac{y}{b^2})y = 1\) 的样子。
我们需要处理下前面的系数，使得只有输入 \((x_0, y_0)\) 的时候能得到 \(\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}\)。
那就是直接把 \(x_0, y_0\) 带进去：\(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)，这就得到了切线方程。
相当于是把 \(x^2\) 换成 \(x_0x\)，构造了一个 filter 一样的东西，只有 \(x = x_0\) 才会被筛选出来，想法有点类似拉格朗日插值。
如果原方程里面有一次项怎么办？比如 \(y^2=2px\)，原理是一样的，二次项还是直接拆一个出来，一次项我们把 \(x\) 换成 \(\dfrac{x_0 + x}{2}\)，也能达到 filter 的效果。
于是切线方程就是 \(y_0y=p(x_0 + x)\)。
再来一个例子：\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)。
我们先拆开：\(x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + b^2 = r^2\)，然后换掉：\(x_0x - a(x_0 + x) + a^2 + y_0y - b(y_0 + y) + b^2 = r^2\)。
关于 \(x\) 和关于 \(y\) 的部分分别因式分解：\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)。
更一般的：\(Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0\)，写出来就是 \(Ax_0x + By_0y + \dfrac{D}{2}(x_0 + x) + \dfrac{E}{2}(y_0 + x) + F = 0\)。
善于找反例的人可能会想到，这里是按照“只有一个公共点”来思考的。
而典中典是，过双曲线上某点与双曲线只有一个交点的直线不一定是过这个点的切线。
它还可能和渐近线平行，或者说，因为双曲线是开口的，所以不相切也可以只有一个交点。
那为什么这样求出来的一定是切线方程而不是这种特例呢？
相切的定义其实类似于极限，是指直线截某个曲线的某两个交点无限接近直至重合的一种状态。
不妨把切线当作一条特殊的弦来看待。
比如说现在有条直线截双曲线一支有两个交点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)，这个弦的方程是 \(\dfrac{x - x_1}{y - y_1} = \dfrac{x - x_2}{y - y_2}\)。
把这条弦的方程写成 \(\dfrac{r}{a^2}x - \dfrac{s}{b^2}y = 1\) 的形式，我们其实就是构造了一个 filter \((r, s)\)，然后能够筛掉不是 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 的所有元素。
不妨让 \((r, s)\) 这个点挪到双曲线上，然后这条弦同时就过 \((r, s)\) 了，因为这条弦同时过 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)，可以发现这三个点重合了。
于是这就成了过 \((r, s)\) 这个点的切线。
换句话说我们上面其实是按照“有两个公共点”来思考的，只不过这两个公共点刚好重合罢了。
你可能会注意到这东西好像就是 \((r, s)\) 的切点弦方程啊？
不过上面并没有说明直线 \(<(r,s), (x_1, y_1)>\) 是和双曲线相切的，需要说明一下相切才能说这个是切点弦方程。
这种方法应该只适用于二次曲线，因为上面的思考要求这个切线不能和曲线有另一个交点。