浅谈指对函数图像交点相关问题

前几天小怪兽在小群里面问了一个 whk 题，感觉是比较有意思的。

这类东西记得以前也讲过，所以简单记录一下，其实理论上应该记录到我错题本上，但无所谓。

Q1：求 ${\log }_a(x)$ 和 $a^x$ 的图像的交点。

先试着暴力联立做一下看看求不求得了零点。

${\log }_a(x)=a^x$，寄，不行。

然后想到一个事情是，这俩玩意儿是反函数，关于 $y=x$ 对称。

于是我们尝试直接求它们任意一个函数和 $y=x$ 的交点？

$a^x=x⟺{\log }_a(x)=x$，谔谔，好像没救，这玩意儿是个超越方程，没有任何几何/代数解法。

而且这个做法其实也是有问题的，有一个很好玩的特例，当 $a={\displaystyle \frac{1}{16}}$ 的时候，它们的一个交点 $(1/2,1/4)$，并不在 $y=x$ 上，所以这个做法其实也比较寄。

感觉这个问题是比较 hard 的，所以我们尝试考虑一个比较 simple 的问题。

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Q2：$f(x)={\log }_a(x)$ 和 $g(x)=a^x$ 有多少个交点？

显然我们要考虑分类讨论一下，因为形态不太一样。

先考虑比较简单的 $a>1$ 的情况。

显然此时不存在不在 $y=x$ 上的交点。

好像没有什么直接的证明方法，于是可以考虑用已知条件推出矛盾来反证。

设有一个交点 $(m,n),m\ne n$，因为 $f,g$ 关于 $y=x$ 对称，所以定有另一个交点 $(n,m)$，不妨设 $n>m$。

因为 $a^n=m,a^m=n$，又因为 $a>1$，所以 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上单增，因为 $m<n⟺a^n<a^m⟺n<m$，矛盾。

所以不存在这样的交点。

所以此时问题转化为考虑 $f/g(x)$ 和 $y=x$ 的交点的问题。

令 $h(x)=g(x)-y=a^x-x$。

原问题等价于 $h(x)$ 在 $R$ 上的零点个数。

然后很显然就要看单调性了。

$h^{\prime }(x)=a^x\ln a-1$，令 $h^{\prime }(x)=0⟺a^x\ln a=1⟺a^x={\displaystyle \frac{1}{\ln a}}⟺x=-{\log }_a(\ln a)$。

令 $h^{\prime }(x)>0⟺x>-{\log }_a(\ln a)$，令 $h^{\prime }(x)<0⟺0<x<-{\log }_a(\ln a)$。

所以 $h(x{)}_{min}=h(-{\log }_a(\ln a))=a^{-{\log }_a(\ln a)}+{\log }_a(\ln a)$。

极端情况显然是极值点为零点，所以：

令 $a^{-{\log }_a(\ln a)}+{\log }_a(\ln a)=0⟺(\ln a{)}^{-1}+{\log }_a(\ln a)=0⟺{\displaystyle \frac{1}{\ln a}}+{\displaystyle \frac{\ln (\ln a)}{\ln a}}=0⟺\ln (\ln a)=-1⟺\ln a={\displaystyle \frac{1}{e}}⟺a=e^{\frac{1}{e}}$

然后上下平移可以得到：

当 $a=e^{\frac{1}{e}}$ 时，$h(x)$ 有一个零点，当 $1<a<e^{\frac{1}{e}}$ 时，$h(x)$ 无零点，当 $a>e^{\frac{1}{e}}$ 时，$h(x)$ 有两个零点。

然后考虑 $0<a<1$ 的情况。

显然此时一定有一个交点在 $y=x$ 上。

所以我们只考虑 $(n,m),(m,n)$ 形式的交点。

于是问题转化为，是否存在 $m,n$，使得 $g(m)=n,g(n)=m,a\in (0,1)$。

思考一下已知条件有什么，似乎不太好搞。

不过这里本质上是求它们存在的充要条件，于是我们先尝试证明一下它们存在的充分性。

假设 $\mathrm{\exists }m,n,g(m)=n,g(n)=m$。

不妨设 $m<n⟺g(n)<g(m)$，这个显然不矛盾。

然后因为 $\ln n=m,\ln m=n⟺nm=m\ln m=n\ln n$。

令 $u(x)=x\ln x$，所以我们想要知道这东西的单调性。

$u^{\prime }(x)=\ln x+1$，令 $u^{\prime }(x)=0⟺x={\displaystyle \frac{1}{e}}$。

所以 $u$ 在 $(0,{\displaystyle \frac{1}{e}})$ 上单调递减（省略了步骤），在 $[{\displaystyle \frac{1}{e}},+\mathrm{\infty })$ 上单增。

所以 $0<m<{\displaystyle \frac{1}{e}}<n$，又因为 $a\in (0,1)$，所以 $m,n<1⟺0<m<{\displaystyle \frac{1}{e}}<n<1$。

然后充分性就有了，找一下必要性，就只需要把 $a$ 化成 $n,m$ 即可。

因为 $a=m^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}⟺a<({\displaystyle \frac{1}{e}}{)}^e$。

所以当 $0<a<({\displaystyle \frac{1}{e}}{)}^e$ 的时候，有三个交点。

这个说明了存在这两个交点的充要条件，然后我们就可以推出：

$a=({\displaystyle \frac{1}{e}}{)}^e$ 的时候，两交点重合于 $y=x$ 上，只有一个交点。

$({\displaystyle \frac{1}{e}}{)}^e<a<1$ 时，只有一个交点。

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Q2 的导数部分不算太难，就是需要稍微耐心化简一下。

然后转化部分就要想着用已知求未知，考虑利用已知条件。

然后好久都没做过导数题了，感觉脑子有点浆糊。

就这个题的方法是求零点个数可以考虑用导数求出单调性然后考虑极端情况。

然后我发现我一般求单调性的方法是不严谨的。

应该把 >0 <0 =0 全部 explain 一下。

然后还有一个注意的就是，得分清楚现在在干嘛，要求的参数是啥，我希望得到什么，手头的变量是否写全了数据范围。

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最后更新: May 9, 2023